Soit \((u_n)\) la suite définie par \(u_n=\frac{1}{n}\) pour tout entier naturel \(n\) non nul.
Cette suite est strictement décroissante et strictement positive.
\(-0,1\lt u_n\lt 0,1\) dès que \(n \geq\)
...\(11\)
\(-0,01\lt u_n\lt 0,01\) dès que \(n \geq\)
...\(101\)
\(-0,001\lt u_n\lt 0,001\) dès que \(n \geq\)
...\(1001\)
Ainsi, \(\frac{1}{n}\) peut être rendu aussi proche de 0 que l'on veut, pourvu que \(n\) soit assez grand.
On dit que la limite de \(\frac{1}{n}\) lorsque \(n\) tend vers \(+\infty\) est 0. On note :
\({\lim\limits_{n\to +\infty}}\frac{1}{n}=0\).
Soit \((v_n)\) la suite définie par \(v_n=\sqrt{n}\) pour tout entier naturel \(n\).
Cette suite est strictement croissante et strictement positive.
\(v_n\gt 10\) dès que \(n \geq\)
...
\(v_n\gt 100\) dès que \(n \geq\)
...\(10001\)
\(v_n\gt 1000\) dès que \(n \geq\)
...\(1000001\)
Ainsi, \(\sqrt{n}\) peut être rendu aussi grand que l'on veut, pourvu que \(n\) soit assez grand.
On dit que la limite de \(\sqrt{n}\) lorsque \(n\) tend vers \(+\infty\) est \(+\infty\). On note :
\({\lim\limits_{n\to +\infty}}\sqrt{n}=+\infty\).
2) Limite finie
Définition
Soit \((u_n)_{n\geq 0}\) une suite de nombres réels, et \(\ell\) un nombre réel.
On dit que \((u_n)\) a pour limite \(\ell\) quand \(n\) tend vers \(+\infty\) si tout intervalle ouvert contenant \(\ell\) contient tous les termes de la suite à partir d'un certain rang.
On écrit alors : \({\lim\limits_{n\to +\infty}}u_n=\ell\). On dit aussi que la suite \((u_n)\) converge vers \(\ell\).
Remarque :
\(\left]\ell-1;\ell+1\right[\), \(\left]\ell-1;+\infty\right[\), \(\left]-\infty;\ell+1\right[\) et \(\left]\ell-0,001;\ell+0,001\right[\) sont des exemples d'intervalles ouverts contenant \(\ell\). En revanche, \(\left[\ell;\ell+1\right[\) est un intevalle qui contient \(\ell\) mais qui n'est pas ouvert.
Propriété
\({\lim\limits_{n\to +\infty}}\frac{1}{n}=0\).
Démonstration :
Soit \(I\) un intervalle ouvert contenant 0. Alors \(I=\left]a;b\right[\) avec \(a\lt 0\) et \(b\gt 0\).
Dès que \(n\gt\frac{1}{b}\), on a \(\frac{1}{n}\lt b\).
De plus, quel que soit l'entier \(n\gt 0\), \(\frac{1}{n}\gt 0\gt a\).
Ainsi, \(\frac{1}{n}\in\left] a;b\right[\) dès que \(n\gt\frac{1}{b}\) et l'intervalle \(I\) contient bien tous les termes de la suite à partir d'un certain rang.
Ceci étant vrai pour tout intervalle \(I\) ouvert contenant 0, on peut conclure que \({\lim\limits_{n\to +\infty}}\frac{1}{n}=0\).
3) Limite infinie
Définition
Soit \((u_n)_{n\geq 0}\) une suite de nombres réels.
On dit que \((u_n)\) a pour limite \(+\infty\) quand \(n\) tend vers \(+\infty\) si tout intervalle ouvert de la forme \(\left]A;+\infty\right[\) (avec \(A\) un nombre réel) contient tous les termes de la suite à partir d'un certain rang.
On écrit alors : \({\lim\limits_{n\to +\infty}}u_n=+\infty\).
Propriété
\({\lim\limits_{n\to +\infty}}n=+\infty\) et \({\lim\limits_{n\to +\infty}}\sqrt{n}=+\infty\).
Démonstration :
Soit \(A\) un nombre réel. \(n>A\) dès que \(n>A\). L'intervalle \(\left]A;+\infty\right[\) contient donc tous les termes de la suite à partir d'un certain rang. On en conclut que \({\lim\limits_{n\to +\infty}}\sqrt{n}=+\infty\).
Soit \(A\) un nombre réel. \(\sqrt{n}>A\) dès que \(n>A^2\). L'intervalle \(\left]A;+\infty\right[\) contient donc tous les termes de la suite à partir d'un certain rang. On en conclut que \({\lim\limits_{n\to +\infty}}n=+\infty\).
Définition
Soit \((u_n)_{n\geq 0}\) une suite de nombres réels.
On dit que \((u_n)\) a pour limite \(-\infty\) quand \(n\) tend vers \(+\infty\) si tout intervalle ouvert de la forme \(\left]-\infty;A\right[\) contient tous les termes de la suite à partir d'un certain rang. On écrit alors : \({\lim\limits_{n\to +\infty}}u_n=-\infty\).
4) Suites qui n'ont pas de limite
Une suite peut ne pas avoir de limite, comme le montre l'exercice suivant.
Exercice :
Soit \((u_n)\) la suite définie par \(u_n=(-1)^{n}\).
Démontrer que cette suite n'a pas de limite.
Solution :
Remarque :
On dit qu'une suite diverge lorsqu'elle a une limite infinie ou n'a pas de limite. Ainsi, une suite qui diverge est une suite qui ne converge pas.
II- Limite et comparaison
1) Le théorème de comparaison (limite infinie)
Propriété
Soit \((u_n)\) et \((v_n)\) deux suites telles que :
\(u_n\leq v_n\) à partir d'un certain rang
\({\lim\limits_{n\to +\infty}}u_n=+\infty\)
Alors \({\lim\limits_{n\to +\infty}}v_n=+\infty\).
Démonstration :
Soit \(A\) un nombre réel. On veut démontrer que \(v_n\gt A\) à partir d'un certain rang.
On sait que \({\lim\limits_{n\to +\infty}}u_n=+\infty\), donc il existe un entier naturel \(p\) tel que \(u_n\gt A\) dès que \(n\geq p\).
On sait aussi qu'il existe un rang \(q\) tel que \(u_n\leq v_n\) dès que \(n\geq q\).
Soit \(r=\max(p,q)\) (le plus grand des deux entiers \(p\) et \(q\).
On a alors, pour tout entier \(n\geq r\) : \(v_n\geq u_n\gt A\).
Le raisonnement précédent est valable quel que soit le réel \(A\). On en conclut que \({\lim\limits_{n\to +\infty}}v_n=+\infty\).
Remarque :
On a aussi la propriété analogue :
Si \(u_n\leq v_n\) à partir d'un certain rang et si \({\lim\limits_{n\to +\infty}}v_n=-\infty\), alors \({\lim\limits_{n\to +\infty}}u_n=-\infty\).
Exercice :
Déterminer la limite des suites \((u_n)\), \((v_n)\) et \((w_n)\) définies pour tout entier naturel \(n\) par :
\(u_n=n^2\)
\(v_n=\sqrt{n}+3n+4\)
\(w_n=n^2+3+2\cos n\)
Solution :
On a pour tout entier naturel \(n\) : \(u_n\geq n\).
De plus, \({\lim\limits_{n\to +\infty}}n=+\infty\).
D'après le théorème de comparaison, on peut conclure que \({\lim\limits_{n\to +\infty}}u_n=+\infty\).
On a pour tout entier naturel \(n\) : \(v_n\geq \sqrt{n}\) (car \(n\geq 0\)).
De plus, \({\lim\limits_{n\to +\infty}}\sqrt{n}=+\infty\).
D'après le théorème de comparaison, on peut conclure que \({\lim\limits_{n\to +\infty}}v_n=+\infty\).
On a pour tout entier naturel \(n\) : \(-1\leq \cos n\leq 1\)
donc \(w_n\geq n^2\).
De plus, \({\lim\limits_{n\to +\infty}}n^2=+\infty\).
D'après le théorème de comparaison, on peut conclure que \({\lim\limits_{n\to +\infty}}w_n=+\infty\).
2) Le théorème des gendarmes (limite finie)
Propriété
Soit \((u_n)\), \((v_n)\) et \((w_n)\) trois suites telles que :
\(u_n\leq v_n\leq w_n\) à partir d'un certain rang
Exercice :
Déterminer la limite de la suite \((u_n)\) définie par \(u_n=\frac{1}{n^2}\) pour tout entier naturel \(n\) non nul.
Solution :
On a pour tout entier naturel \(n\) non nul : \(0\leq \frac{1}{n^2}\leq \frac{1}{n}\) (car \(n^2\geq n\)).
De plus, \({\lim\limits_{n\to +\infty}}0={\lim\limits_{n\to +\infty}}\frac{1}{n}=0\).
Ainsi, la suite \((u_n)\) est encadrée par deux suites qui ont pour limite 0.
D'après le théorème des gendarmes, on peut conclure que \({\lim\limits_{n\to +\infty}}u_n=0\).
3) Suites croissantes convergentes
Propriété
Soit \((u_n)\) une suite croissante et qui converge vers un nombre réel \(\ell\).
Alors pour tout entier naturel \(n\), on a : \(u_n\leq \ell\).
Démonstration :
On raisonne par l'absurde : on suppose qu'il existe un rang \(p\) tel que \(u_p\gt\ell\).
Comme la suite \((u_n)\) est croissante, on a pour tout entier \(n\geq p\) : \(u_n\geq u_p \gt\ell\).
Alors l'intervalle \(\left]\ell -1;u_p\right[\) est un intervalle ouvert qui contient \(\ell\) mais qui ne contient aucun des termes de la suite après le rang \(p\). Or, selon la définition d'une suite qui converge vers \(\ell\), cet intervalle aurait dû contenir tous les termes de la suite à partir d'un certain rang. On a donc obtenu une contradiction. Notre hypothèse de départ était fausse. On en conclut que \(u_n\leq \ell\) pour tout entier naturel \(n\).
Les limites de \(n\), \(n^2\) et \(\sqrt{n}\) ont déjà été démontrées précédemment. Pour \(n^p\) avec \(p\geq 2\), on procède comme pour \(n^2\) avec le théorème de comparaison.
Les limites de \(\frac{1}{n}\) et \(\frac{1}{n^2}\) ont déjà été démontrées précédemment. Pour \(\frac{1}{n^p}\) avec \(p\geq 2\), on procède comme pour \(\frac{1}{n^2}\) avec le théorème des gendarmes.
Remarque :
La limite d'une suite constante égale à \(\ell\) est \(\ell\).
2) Limite de \(q^n\)
Propriété
Si \(q\gt 1\), \({\lim\limits_{n\to +\infty}}q^n=+\infty\).
Si \(-1\lt q\lt 1\), \({\lim\limits_{n\to +\infty}}q^n=0\).
Si \(q\leq-1\), \(q^n\) n'a pas de limite.
Démonstration :
Exercice :
Déterminer la limite (si elle existe) de \(1,01^n\), de \(\left(\frac{2018}{2019}\right)^n\), de \((-1,5)^n\), de \((-0,5)^n\) et de \(\left(\sqrt{2}-1\right)^n\).
Solution :
\(1,01\gt 1\) donc \({\lim\limits_{n\to +\infty}}1,01^n=+\infty\).
\(0\lt\frac{2018}{2019}\lt 1\) donc \({\lim\limits_{n\to +\infty}}\left(\frac{2018}{2019}\right)^n=0\).
\(-1,5\lt -1\) donc \((-1,5)^n\) n'a pas de limite.
\(-1\lt -0,5\lt 1\) donc \({\lim\limits_{n\to +\infty}}(-0,5)^n=0\).
\(1\lt\sqrt{2}\lt 2\) donc \(0\lt\sqrt{2}-1\lt 1\) donc \({\lim\limits_{n\to +\infty}}\left(\sqrt{2}-1\right)^n=0\).
IV- Opérations sur les limites
Soit \(\left(u_n\right)\) et \(\left(v_n\right)\) deux suites ayant pour limite un nombre réel, ou \(+\infty\), ou \(-\infty\).
1) Limite de la somme de deux suites
\({\lim\limits_{n\to +\infty}u_n}\)
\({\lim\limits_{n\to +\infty}v_n}\)
\({\lim\limits_{n\to +\infty}(u_n+v_n)}\)
\(\ell\)
\(\ell'\)
\(\ell+\ell'\)
\(\ell\)
\(+\infty\)
\(+\infty\)
\(\ell\)
\(-\infty\)
\(-\infty\)
\(+\infty\)
\(+\infty\)
\(+\infty\)
\(-\infty\)
\(-\infty\)
\(-\infty\)
\(+\infty\)
\(-\infty\)
Forme indéterminée
Exercice :
Calculer la limite des suites \((u_n)\) et \((v_n)\) définies pour tout entier naturel \(n\gt 0\) par \(u_n=3+\frac{1}{n^2}+\left(\frac{3}{4}\right)^n\) et \(v_n=n^2+\frac{1}{n}+\left(\frac{4}{3}\right)^n\).
2) Limite du produit de deux suites
\({\lim\limits_{n\to +\infty}u_n}\)
\({\lim\limits_{n\to +\infty}v_n}\)
\({\lim\limits_{n\to +\infty}u_n.v_n}\)
\(\ell\)
\(\ell'\)
\(\ell.\ell'\)
\(\ell\gt 0\)
\(+\infty\)
\(+\infty\)
\(\ell\lt 0\)
\(+\infty\)
\(-\infty\)
\(\ell\gt 0\)
\(-\infty\)
\(-\infty\)
\(\ell\lt 0\)
\(-\infty\)
\(+\infty\)
\(0\)
\({+\infty \text{ ou }-\infty}\)
Forme indéterminée
\(+\infty\)
\(+\infty\)
\(+\infty\)
\(+\infty\)
\(-\infty\)
\(-\infty\)
\(-\infty\)
\(-\infty\)
\(+\infty\)
Ce tableau permet aussi de calculer la limite de \((ku_n)\) où \(k\) est un nombre réel.
Exercice :
Calculer la limite des suites \((u_n)\) et \((v_n)\) définies pour tout entier naturel \(n\) par \(u_n=3\times 0,8^n-2\sqrt{n}\) et \(v_n=n(n^2-1)\).
Solution :
Exercice :
Soit \(S_n=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+...+\frac{1}{2^n}\). Calculer la limite de la suite \((S_n)\).
Solution :
3) Limite de l'inverse d'une suite
On suppose ici que \(u_n\neq 0\) à partir d'un certain rang.
\({\lim\limits_{n\to +\infty}u_n}\)
\({\lim\limits_{n\to +\infty}\frac{1}{u_n}}\)
\(\ell\neq 0\)
\(\frac{1}{\ell}\)
\({0\text{ avec }u_n\gt 0}\)
\(+\infty\)
\({0\text{ avec }u_n\lt 0}\)
\(-\infty\)
\(+\infty\)
\(0\)
\(-\infty\)
\(0\)
Exercice :
Calculer la limite de \(\frac{1}{5n+4}\) puis celle de \(\frac{3}{5n+4}\).
Solution :
4) Limite du quotient de deux suites
Pour étudier la limite de la suite \((w_n)\) définie par \(w_n=\frac{u_n}{v_n}\), on écrit : \(w_n=u_n\times \frac{1}{v_n}\) puis on utilise les règles concernant l'inverse d'une suite et le produit de deux suites.
On peut tout de même retenir que si \(u_n\) tend vers \(\ell\) et \(v_n\) tend vers \(\ell '\) (avec \(\ell '\neq 0\)), alors \(\frac{u_n}{v_n}\) tend vers \(\frac{\ell}{\ell '}\) (la limite du quotient est le quotient des limites).
5) Cas des formes indéterminées
Lorsqu'on tombe sur une forme indéterminée, il faut transformer l'expression de \(u_n\) pour faire disparaître la forme indéterminée (si cela est possible).
Exemple : Soit \((u_n)\) la suite définie par \(u_n=(n^2+1)\times\frac{1}{n}\) pour tout entier naturel \(n\) non nul.
On a : \({\lim\limits_{n\to +\infty}(n^2+1)}=+\infty\) et \({\lim\limits_{n\to +\infty}\frac{1}{n}}=0\).
Par produit, on a une forme indéterminée. On transforme donc l'expression :
\(u_n=(n^2+1)\times\frac{1}{n}=\frac{n^2}{n}+\frac{1}{n}=n+\frac{1}{n}\).
\({\lim\limits_{n\to +\infty}n}=+\infty\) et \({\lim\limits_{n\to +\infty}\frac{1}{n}}=0\) donc par somme, \({\lim\limits_{n\to +\infty}u_n}=+\infty\) .
Dans le cas d'une forme indéterminée avec une somme, on peut essayer de factoriser l'expression, la méthode la plus efficace étant de mettre en facteur le terme prépondérant.
Exemple : Soit \((u_n)\) la suite définie par \(u_n=n^2-n\) pour tout entier naturel \(n\).
On a : \({\lim\limits_{n\to +\infty}n^2}=+\infty\) et \({\lim\limits_{n\to +\infty}-n}=-\infty\).
Par somme, on a une forme indéterminée. On transforme donc l'expression en factorisant par \(n\) :
\(u_n=n^2-n=n(n-1)\).
\({\lim\limits_{n\to +\infty}n}=+\infty\) et \({\lim\limits_{n\to +\infty}(n-1)}=+\infty\) donc par produit, \({\lim\limits_{n\to +\infty}u_n}=+\infty\) . Remarque : On aurait aussi pu factoriser par le terme prépondérant \(n^2\) : \(n^2-n=n^2(1-\frac{1}{n})\).
Exercice :
Calculer la limite en \(+\infty\) de \(n-\sqrt{n}\), \(6^n-7^n\), \(\frac{4n+3}{2n+5}\) et \(\frac{n^2-3n+7}{n+1}\).
La méthode de la factorisation par le terme prépondérant ne fonctionne pas toujours (notamment lorsque les termes prépondérants sont du même ordre de grandeur ou « équivalents »). On doit alors recourir à une transformation plus sophistiquée.
Exercice :
Déterminer la limite de la suite \((u_n)\) définie par \(u_n=\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\).
V- Suites majorées, minorées, bornées
Définition
On dit qu'une suite \((u_n)\) est majorée si s'il existe un nombre réel \(M\) tel que pour tout entier naturel \(n\), \(u_n\leq M\). On dit alors que \(M\) est un majorant de la suite \((u_n)\).
On dit qu'une suite \((u_n)\) est minorée si s'il existe un nombre réel \(m\) tel que pour tout entier naturel \(n\), \(u_n\geq m\). On dit alors que \(m\) est un minorant de la suite \((u_n)\).
On dit qu'une suite est bornée si elle est majorée et minorée.
Exemples : La suite \((u_n)\) définie par \(u_n=\sin n\) est bornée par \(-1\) et par \(1\).
La suite \((v_n)\) définie par \(v_n=n^2\) est minorée par \(0\).
Propriété
Si une suite est croissante et majorée, alors elle converge.
Si une suite est décroissante et minorée, alors elle converge.
Ce théorème est admis sans démonstration.
Remarque :
Ce théorème donne seulement l'existence de la limite, mais pas sa valeur. Si \((u_n)\) est croissante et majorée par \(M\), et si on note \(\ell\) sa limite, on peut seulement affirmer que \(\ell\leq M\).
Le fait de savoir que la limite \(\ell\) existe peut permettre de calculer cette limite, même si on ne connait pas le terme général de la suite (voir l'exercice suivant).
On a aussi le théorème suivant :
Si une suite est croissante et non majorée, alors elle a pour limite \(+\infty\).
Démonstration :
Soit \((u_n)\) une suite croissante et non majorée.
La suite n'est pas majorée, donc pour tout réel \(M\), il existe un rang \(n\) tel que \(u_n\gt M\).
La négation de « il existe un réel \(M\) tel que pour tout entier naturel \(n\), \({u_n\leq M}\) » est « pour tout réel \(M\), il existe un entier naturel \(n\) tel que \({u_n \gt M}\) ».
Soit \(A\) un nombre réel. D'après ce qui a été dit juste avant, il existe un entier naturel \(p\) tel que \(u_p\gt A\).
Exercice :
Soit \((u_n)\) la suite définie par \(u_0=-1\) et \(u_{n+1}=\frac{1}{2}u_n+\frac{3}{2}\) pour tout entier naturel \(n\).
Construire graphiquement les premiers termes de cette suite.
Conjecturer le sens de variation et la limite éventuelle de cette suite.
Démontrer que la suite \((u_n)\) est majorée par \(3\).
Déterminer son sens de variation.
Que peut-on en déduire sur la suite \((u_n)\)?
Déterminer une égalité vérifiée par \(\ell\), puis en déduire la valeur de \(\ell\).
