Introduction :
Jusqu'en Première, les variables aléatoires ne pouvaient prendre qu'un nombre fini de valeurs \(x_1\), \(x_2\), ..., \(x_n\) (par exemple les six valeurs 1, 2, 3, 4, 5 et 6 dans le cas du lancer d'un dé). On dit dans ce cas que la variable aléatoire \(X\), ainsi que sa loi de probabilité, sont discrètes.
Cependant, il existe des variables aléatoires non discrètes, qui peuvent prendre toutes les valeurs d'un intervalle de \(\mathbb{R}\) (borné ou non). On parle alors de variable aléatoire continue (ou de loi continue).
Exemples :
La durée de vie d'une ampoule peut prendre n'importe quelle valeur de l'intervalle \(\left[0;+\infty\right[\).
La taille d'une personne choisie au hasard (par exemple 1,72631 m).
Le temps d'attente à un guichet.
Il n'est plus possible dans ce cas de définir la loi de probabilité de \(X\) en énumérant les probabilités des événements \((X=x_i)\) (on verra d'ailleurs que la probabilité de chacun d'eux est nulle). On s'intéressera donc plutôt à des événements du type « \(X\) appartient à l'intervalle \([a;b]\) » que l'on note « \(X\in[a;b]\) ». Par exemple : Quelle est la probabilité qu'une personne choisie au hasard mesure entre 170 cm et 175 cm ?
I- Loi à densité sur un intervalle I
Définition
Une densité de probabilité sur un intervalle \(I\) est une fonction \(f\) telle que :
\(f\) est continue sur \(I\).
\(f\) est positive sur \(I\).
\(\int_I f(x)dx=1\)
Définition
Une variable aléatoire \(X\) à valeurs dans \(I\) suit la loi de probabilité de densité \(f\) lorsque pour tous nombres \(c\) et \(d\) de \(I\) (avec \(c\leq d\)), on a : \(P(c\leq X\leq d)=\int_c^d f(x)dx\).
Remarque :
On modélise ainsi le choix au hasard d'un nombre réel \(X\) dans l'intervalle \(I\).
L'intervalle \(I\) peut être borné (de la forme \([a;b]\) ou \(]a;b[\)), ou non borné (de la forme \([a;+\infty[\) ou \(]-\infty;+\infty[\). Dans tous les cas, l'intégrale peut s'interpréter comme étant l'aire sous la courbe de \(f\).
Comme \(f\) est une fonction positive, on retrouve le fait bien connu qu'une probabilité est toujours positive (d'après la propriété de positivité de l'intégrale).
La probabilité d'un événement ne peut pas dépasser 1. En revanche, \(f(x)\) peut être supérieur à 1 pour certaines valeurs de \(x\).
La probabilité \(P(c\leq X\leq d)\) se note aussi \(P(X\in [c;d])\).
\(P(X\in I)=\int_I f(x)dx=1\).
Pour tout nombre réel \(a\), \(P(X=a)=\int_a^a f(x)dx=0\).
Ainsi, la probabilité que \(X\) prenne exactement la valeur \(a\) fixée à l'avance est nulle.
Les inégalité strictes ou larges n'ont pas d'importance :
\(P(c\leq X\leq d)=P(c\leq X\lt d)=P(c\lt X\leq d)=P(c\lt X\lt d)\)
\(P(X\gt c)=1-P(X\leq c)\)
\(P(c\leq X\leq d)=P(X\leq d)-P(X\leq c)\)
Espérance d'une variable aléatoire qui suit une loi à densité :
Définition
Soit \(X\) une variable aléatoire de densité \(f\) sur un intervalle \(I\).
L'espérance de \(X\) est le nombre noté \(E(X)\) défini par \(E(X)=\int_Ixf(x)dx\).
Remarque :
Cette définition est à rapprocher de l'espérance d'une variable aléatoire discrète :
\(E(X)=x_1P(X=x_1)+x_2P(X=x_2)+...+x_NP(X=x_N)=\sum_{i=1}^N x_iP(X=x_i)\)
Pour les variables aléatoires continues, la somme est remplacée par une intégrale.
Interprétation de l'espérance : Loi des grands nombres
Si on répète un grand nombre de fois la même expérience aléatoire (de façon indépendante) et qu'on relève à chaque fois la valeur de la variable aléatoire \(X\), la moyenne des valeurs observées tend vers \(E(X)\) lorsque le nombre de répétitions tend vers \(+\infty\).
Exercice :
Léo arrive tous les jours au lycée entre 7h50 et 8h05. Soit \(X\) le nombre de minutes écoulées entre 7h50 et son arrivée au lycée. On suppose que \(X\) suit la loi de probabilité dont la densité \(f\) est représentée ci-dessous (la courbe est formée de deux segments de droite, le sommet a pour ordonnée \(\frac{2}{15}\)).
1) Vérifier que \(f\) est bien une densité de probabilité.
2) Quelle est la probabilité que Léo arrive au lycée entre 7h50 et 7h55 ? entre 7h55 et 8h ? entre 8h et 8h05 ?
3) Sachant que Léo est arrivé avant 8h, quelle est la probabilité qu'il soit arrivé avant 7h55 ?
4) A quelle heure Léo arrive-t-il au lycée en moyenne ?
Solution :
1)
II- Lois particulières
1) Loi uniforme sur [a;b]
a) Définition
Définition
Une variable aléatoire (ou une loi de probabilité) suit la loi uniforme sur l'intervalle \([a;b]\) (avec \(a\lt b\)) lorsqu'elle admet pour densité une fonction constante sur \([a;b]\). Cette densité est alors la fonction \(f\) définie sur \([a;b]\) par \(f(x)=\frac{1}{b-a}\).
On a alors, pour tous nombres réels \(c\) et \(d\) tels que \(a\leq c\leq d\leq b\) : \(P(X\in [c;d])=\frac{d-c}{b-a}\)
Remarque :
La probabilité de l'intervalle \([c;d]\) est le rapport des aires du petit et du grand rectangle.
Des intervalles de même largeur (et inclus dans \([a;b]\)) ont la même probabilité, d'où le nom de loi uniforme.
La fonction alea() du tableur renvoie un nombre aléatoire compris entre 0 et 1, choisi selon la loi uniforme sur \([0;1]\) (approximativement). Mettre un popup de commentaire
Il n'est pas possible de définir une loi uniforme sur \(\mathbb{R}\). En effet, l'intégrale de \(f\) serait soit nulle, soit infinie, mais pas égale à 1.
b) Espérance d'une loi uniforme
Propriété
Soit \(X\) une variable aléatoire qui suit la loi uniforme sur \([a;b]\). Alors \(E(X)=\frac{a+b}{2}\)
L'espérance d'une variable aléatoire qui suit une loi uniforme sur un intervalle est le centre de l'intervalle.
Démonstration :
\(E(X)=\int_Ixf(x)dx=\int_a^b x\times\frac{1}{b-a}dx=F(b)-F(a)\), où \(F\) est une primitive de \(x\mapsto\frac{x}{b-a}\).
On peut prendre \(F(x)=\frac{1}{b-a}\times\frac{x^2}{2}\).
Alors \(E(X)=\frac{1}{b-a}\frac{b^2}{2}-\frac{1}{b-a}\frac{a^2}{2}=\frac{1}{b-a}\times\frac{b^2-a^2}{2}=\frac{(b-a)(b+a)}{2(b-a)}=\frac{a+b}{2}\).
Exercice :
Léa arrive chaque jour au lycée entre 7h50 et 8h05. Le nombre de minutes écoulées entre 7h50 et son arrivée au lycée est une variable aléatoire \(Y\) qui suit la loi uniforme sur l'intervalle \([0;15]\).
1) Quelle est la probabilité que Léa arrive au lycée entre 7h50 et 7h55 ? entre 7h55 et 8h ? entre 8h et 8h05 ?
2) Sachant que Léa est arrivée avant 8h, quelle est la probabilité qu'elle soit arrivée avant 7h55 ?
3) A quelle heure Léa arrive-t-elle au lycée en moyenne ?
Solution :
1) La probabilité que Léa arrive au lycée entre 7h50 et 7h55 est : \(P(0\leq Y\leq 5)=\frac{5-0}{15-0}=\frac{5}{15}=\frac{1}{3}\)
La probabilité que Léa arrive au lycée entre 7h55 et 8h est : \(P(5\leq Y\leq 10)=\frac{10-5}{15-0}=\frac{5}{15}=\frac{1}{3}\)
La probabilité que Léa arrive au lycée entre 8h et 8h05 est : \(P(10\leq Y\leq 15)=\frac{15-10}{15-0}=\frac{5}{15}=\frac{1}{3}\)
2)\(P_{(Y\leq 10)}(Y\leq 5)=\frac{P\left[(Y\leq 5)\cap (Y\leq 10)\right]}{P(Y\leq 10)}=\frac{P\left(Y\leq 5\right)}{P(Y\leq 10)}=\frac{\frac13}{\frac23}=\frac12\)
Sachant que Léa est arrivée avant 8h, il y a une chance sur deux qu'elle soit arrivée avant 7h55.
3)\(E(Y)=\frac{a+b}{2}=\frac{0+15}{2}=7,5\).
Léa arrive au lycée à 7h57min30s en moyenne.
2) Loi exponentielle
Définition
Une variable aléatoire \(X\) (ou une loi de probabilité) suit une loi exponentielle de paramètre \(\lambda\) (avec \(\lambda\gt 0\)) lorsqu'elle admet pour densité la fonction \(f\) définie sur \([0;+\infty[\) par \(f(x)=\lambda e^{-\lambda x}\).
Vérifions que la fonction \(f\) définie ci-dessus est bien une densité de probabilité :
\(f\) est continue sur \([0;+\infty[\).
\(f\) est positive sur \([0;+\infty[\).
Démontrons que \(\int_0^{+\infty} f(x)dx=1\).
Pour cela, on calcule d'abord \(\int_0^cf(x)dx\) (avec \(c\) un réel positif), puis on fait tendre \(c\) vers \(+\infty\).
Une primitive de \(f\) est la fonction \(F\) définie par \(F(x)=-e^{-\lambda x}\).
\(\int_0^cf(x)dx=F(c)-F(0)=-e^{-\lambda c}+1\).
Comme \(\lambda\gt0\), on a \(\lim\limits_{c \to +\infty}-\lambda c=-\infty\) et donc \(\lim\limits_{c \to +\infty}e^{-\lambda c}=0\). Ainsi : \(\lim\limits_{c \to +\infty}\int_0^cf(x)dx=1\).
On en conclut que \(\int_0^{+\infty} f(x)dx=1\).
Propriété
Si \(X\) est une variable aléatoire qui suit la loi exponentielle de paramètre \(\lambda\), alors :
On a vu précédemment qu'une primitive de \(f\) est la fonction \(F\) définie par \(F(x)=-e^{-\lambda x}\).
\(P(a\leq X\leq b)=\int_a^bf(x)dx=F(b)-F(a)=-e^{-\lambda b}+e^{-\lambda a}\), ce qui donne la troisième formule.
\(P(X\leq a)=P(0\leq X\leq a)=e^0-e^{-\lambda a}\) (d'après la troisième formule)
\(=1-e^{-\lambda a}\), ce qui donne la deuxième formule.
\((X\gt a)\) est l'événement contraire de l'événement \((X\leq a)\), donc \(P(X\gt a)=1-(1-e^{-\lambda a})=e^{-\lambda a}\), ce qui donne la première formule.
Exercice :
Un piéton fait de l’auto-stop sur une route de campagne très peu fréquentée.
Soit \(X\) la variable aléatoire égale à la durée (en minutes) du temps d’attente avant le passage de la prochaine voiture. On suppose que \(X\) suit une loi exponentielle de paramètre 0,05.
1) Quelle est la probabilité qu’il attende plus de 20 minutes ?
2) Quelle est la probabilité que l’auto-stoppeur attende moins de 20 minutes ?
3) Quelle est la probabilité qu’il attende entre 20 et 40 minutes ?
4) Sachant qu’il a déjà attendu 1 heure, quelle est la probabilité que la prochaine voiture passe dans moins de 20 minutes ?
L'espérance d'une variable aléatoire \(X\) qui suit une loi exponentielle de paramètre \(\lambda\) est \(E(X)=\frac 1\lambda\).
Démonstration :
\(E(X)=\int_0^{+\infty}xf(x)dx=\int_0^{+\infty}\lambda xe^{-\lambda x}dx\)
Cherchons une primitive \(G\) de \(g:x\mapsto \lambda xe^{-\lambda x}\) sous la forme \(G(x)=(ax+b)e^{-\lambda x}\):
\(G=u\times v\) avec \(u(x)=ax+b\) et \(v(x)=e^{-\lambda x}\). \(u'(x)=a\) et \(v'(x)=-\lambda e^{-\lambda x}\).
\(G'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)=ae^{-\lambda x}-(ax+b)\lambda e^{-\lambda x}=(-a\lambda x+a-b\lambda)e^{-\lambda x}\).
Par indentification avec \(g(x)\), on obtient : \(-a\lambda=\lambda\) et \(a-b\lambda=0\).
On a donc : \(a=-1\) et \(b=-\frac 1\lambda\). Ainsi, la fonction \(G\) définie par \(G(x)=(-x-\frac 1\lambda)e^{-\lambda x}\) est une primitive de \(g\).
Soit \(c\) un nombre réel positif.
\(\int_0^c\lambda xe^{-\lambda x}dx=G(c)-G(0)=(-c-\frac 1\lambda)e^{-\lambda c}+\frac 1\lambda=\frac 1\lambda-\frac{1}{\lambda}\frac{\lambda c}{e^{\lambda c}}-\frac{1}{\lambda e^{\lambda c}}\).
On fait maintenant tendre \(c\) vers \(+\infty\).
Comme \(\lambda>0\), \(u=\lambda c\) tend vers \(+\infty\) lorsque \(c\) tend vers \(+\infty\).
\(\int_0^c\lambda xe^{-\lambda x}dx=\frac 1\lambda-\frac 1\lambda\frac{1}{\frac{e^u}{u}}-\frac{1}{\lambda e^u}\). Ceci tend vers \(\frac 1\lambda\) lorsque \(c\) tend vers \(+\infty\) (car \(\lim\limits_{u \to +\infty}\frac{e^u}{u}=+\infty\)).
Ainsi, \(\int_0^{+\infty} xf(x)dx=\frac 1\lambda\), d'où le résultat.
Propriété
Soit \(X\) une variable aléatoire qui suit une loi exponentielle. Alors on a pour tous réels positifs \(t\) et \(h\) :
\(P_{(X\geq t)}(X\geq t+h)=P(X\geq h)\)
Démonstration :
Soit \(\lambda\) le paramètre de la loi exponentielle.
\(P_{(X\geq t)}(X\geq t+h)=\frac{P(X\geq t\text{ et }X\geq t+h)}{P(X\geq t)}\)\(=\frac{P(X\geq t+h)}{P(X\geq t)}\)\(=\frac{e^{-\lambda (t+h)}}{e^{-\lambda t}}\)\(=\frac{e^{-\lambda t}e^{-\lambda h}}{e^{-\lambda t}}\)\(=e^{-\lambda h}\)\(=P(X\geq h)\)
Remarque :
Cette propriété s'appelle propriété de durée de vie sans vieillissement. Elle modélise les phénomènes de temps d'attente (combien de temps va-t-il falloir attendre avant le passage de la prochaine voiture à un péage, avant le prochain but lors d'un match, avant la panne d'un composant électronique ou d'une ampoule, avant la désintégration d'un noyau radioactif, etc...)
On peut démontrer que les seules lois de probabilité continues qui vérifient la propriété de durée de vie sans vieillissement sont les lois exponentielles.
Dans l'exercice précédent (l'auto-stoppeur), on aurait pu répondre à la question 4 sans calculs, en invoquant la propriété de durée de vie sans vieillissement de la loi exponentielle. La probabilité que l'auto-stoppeur doive encore attendre au moins 20 minutes reste la même, qu'il ait déjà attendu une heure ou pas.
3) Loi normale
Voir le prochain chapitre de probabilités (chapitre 15)
